\begin{align*}
a_1 \amp = 3a_0 + 2\\
a_2 \amp = 3(a_1) + 2 = 3(3a_0 + 2) + 2 = 3^2a_0 + 2\cdot 3 + 2\\
a_3 \amp = 3[a_2] + 2 = 3[3^2a_0 + 2\cdot 3 + 2] + 2 = 3^3 a_0 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 + 2\\
\vdots \amp \qquad\quad \vdots \hspace{2in} \vdots\\
a_n \amp = 3(a_{n-1}) + 2 = 3(3^{n-1}a_0 + 2 \cdot 3^{n-2} + \cdots +2)+ 2\\
\amp \qquad \qquad = 3^n a_0 + 2\cdot 3^{n-1} + 2 \cdot 3^{n-2} + \cdots + 2\cdot 3 + 2
\end{align*}
in-context